---

الفصل الأول: ما هي المتسلسلات الرقمية؟

المفهوم الأساسي

المتسلسلة الرقمية ببساطة هي مجموع حدود متتالية من متتالية رقمية. إذا كان لديك متتالية (u₀, u₁, u₂, u₃, ...) فإن المتسلسلة المرتبطة بها تكون:

S = u₀ + u₁ + u₂ + u₃ + ... + uₙ + ...

لكن السؤال الأهم: هل هذا المجموع اللانهائي له قيمة محددة أم أنه يتجه نحو اللانهائية؟

المجموع الجزئي: خطوة خطوة نحو الفهم

لفهم المتسلسلات، نستخدم مفهوم المجموع الجزئي (Sₙ):

• S₀ = u₀
• S₁ = u₀ + u₁
• S₂ = u₀ + u₁ + u₂
• Sₙ = u₀ + u₁ + ... + uₙ

إذا اقترب Sₙ من قيمة محددة S عندما يتجه n نحو اللانهائية، نقول إن المتسلسلة متقاربة وقيمتها S.

---

الفصل الثاني: أمثلة كلاسيكية تفتح العقول

1. المتسلسلة الهندسية: الملكة الأنيقة

المتسلسلة الهندسية هي الأكثر أناقة في عالم المتسلسلات:

uₙ = arⁿ

القاعدة الذهبية: المتسلسلة تتقارب إذا كان |r| < 1، وتكون قيمتها:

S = a/(1-r)

مثال عملي: المتسلسلة 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... تساوي 2 بالضبط!

2. المتسلسلة التوافقية: المتمردة الشهيرة

المتسلسلة 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... تبدو بريئة، لكنها متباعدة! رغم أن حدودها تقترب من الصفر، إلا أن مجموعها يتجه نحو اللانهائية. هذا يعلمنا درسًا مهمًا: اقتراب الحد من الصفر ضروري لكنه ليس كافيًا للتقارب.

3. مثال جميل للتقارب

المتسلسلة 1/[n(n+1)] تتقارب وقيمتها 1. السبب؟ يمكن كتابة كل حد كفرق:

1/[n(n+1)] = 1/n - 1/(n+1)

عندما نجمع، معظم الحدود تُلغي بعضها البعض في ظاهرة رياضية جميلة تسمى "المتسلسلة التلسكوبية".

---

الفصل الثالث: متسلسلات الحدود الموجبة - عالم من القواعد الذهبية

لماذا الحدود الموجبة مميزة؟

عندما تكون جميع حدود المتسلسلة موجبة أو صفرية، تصبح دراستها أسهل بكثير. السبب؟ متتالية المجاميع الجزئية تكون متزايدة دائمًا، فإما أنها محدودة (وبالتالي متقاربة) أو تتجه نحو اللانهائية.

قاعدة المقارنة: الصديق المخلص

إذا كان 0 ≤ uₙ ≤ vₙ لكل n:

• إذا تقاربت vₙ، تتقارب uₙ
• إذا تباعدت uₙ، تتباعد vₙ

تطبيق عملي: لدراسة متسلسلة معقدة، قارنها بمتسلسلة هندسية أو متسلسلة ريمان!

متسلسلات ريمان: المعيار الذهبي

متسلسلة ريمان لها الشكل: Σ(1/nᵅ)

القاعدة البسيطة:

• تتقارب إذا α > 1
• تتباعد إذا α ≤ 1

هذه القاعدة هي أداتك الأقوى في دراسة المتسلسلات!

معيار دالامبير: نسبة الحدود المتتالية

إذا كان lim(uₙ₊₁/uₙ) = l:

• l < 1 → تقارب
• l > 1 → تباعد
• l = 1 → غير حاسم

مثال رائع: متسلسلة 1/n! تتقارب لأن: lim(n!/(n+1)!) = lim(1/(n+1)) = 0 < 1

---

الفصل الرابع: المتسلسلات المتناوبة - جمال التذبذب

ما هي المتسلسلة المتناوبة؟

هي متسلسلة من الشكل: (-1)ⁿ aₙ

حيث تتغير الإشارة من موجبة إلى سالبة بانتظام.

معيار لايبنتز: الأداة السحرية

إذا كانت:

1. المتتالية (aₙ) متناقصة
2. lim(aₙ) = 0

فإن المتسلسلة المتناوبة تتقارب!

مثال كلاسيكي: المتسلسلة التوافقية المتناوبة: 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ...

رغم أن المتسلسلة التوافقية العادية متباعدة، إلا أن نسختها المتناوبة تتقارب نحو ln(2)!

---

الفصل الخامس: التقارب المطلق - المستوى الأعلى

الفرق بين التقارب والتقارب المطلق

المتسلسلة متقاربة مطلقًا إذا كانت متسلسلة القيم المطلقة Σ|uₙ| متقاربة.

الحقيقة الذهبية: كل متسلسلة متقاربة مطلقًا هي متقاربة، لكن العكس ليس صحيحًا!

التقارب شبه المطلق

المتسلسلة شبه متقاربة إذا كانت متقاربة لكن ليست متقاربة مطلقًا.

مثال: Σ((-1)ⁿ/n) شبه متقاربة - تتقارب لكن Σ(1/n) متباعدة.

---

الفصل السادس: تقنيات متقدمة

استخدام التطوير المحدود

يمكن دراسة بعض المتسلسلات باستخدام تطوير الدوال حول نقطة معينة.

مثال: لدراسة Σ(1 - cos(π/n))، نستخدم: cos(x) ≈ 1 - x²/2

إذن: 1 - cos(π/n) ≈ π²/(2n²)

وبما أن Σ(1/n²) متقاربة (ريمان مع α=2)، فالمتسلسلة الأصلية متقاربة أيضًا!

معيار كوشي

إذا كان lim(ⁿ√uₙ) = l:

• l < 1 → تقارب
• l > 1 → تباعد

الرابط للتحميل: Séries Numériques